Задача 109958

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Существуют ли такие n-значные числа M и N, что все цифры M – чётные, все цифры N – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи M или N хотя бы один раз и M делится на N?

Решение

Пусть  M = a₁...a_n  и  N = b₁...b_n  – числа, удовлетворяющие условию. Тогда  M = dN,  где d = 2, 4, 6 или 8 (так как M чётно, а N нечётно). Пусть  b_k = 9  и
S = b_k...b_n.  Тогда из неравенств  180...0 < 2S < 199...9,  360...0 < 4S < 399...9,  540...0 < 6S < 39...9,  720...0 < 8S < 799...9  следует, что в (k–1)-й разряд переносится нечётная цифра p, значит, цифра a_k–1 – последняя цифра суммы  db_k–1 + p  нечётна. Противоречие.

Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1998
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	98.4.8.1