Задача 110043
|
|
 |
Условие
В таблице 99×101 расставлены кубы натуральных чисел, как показано на рисунке.
Решение
Рассмотрим ту же таблицу, но записанную в обратном порядке. В левом верхнем углу этой таблицы стоит число 199³. Сложим эту таблицу с исходной. В получившейся таблице в каждой клетке стоит сумма двух кубов a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) = 200(a² – ab + b²). Вынесем общий множитель 200. В оставшейся таблице все числа встречаются дважды, кроме чисел, стоящих на 100-й диагонали, но там стоят чётные числа, значит, сумма чисел в оставшейся таблице чётна.
