Задача 110047

Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Ненулевые числа a и b удовлетворяют равенству  a²b²(a²b² + 4) = 2(a⁶ + b⁶).  Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.

Решение

Переписав равенство в виде  (a⁴ – 2b²)(b⁴ – 2a²) = 0,  получаем, что либо      либо      Как известно, оба равенства невозможны при рациональных a и b.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	00.4.8.1