Задача 110055

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Женодаров Р.Г.

Найдите все такие простые числа p и q , что  p + q = (p – q)³.

Решение

  Пусть  p – q = n,  тогда  p + q = n³.  Отсюда  q = ½ (n³ – n) = ½ (n – 1)n(n + 1).
  Среди трёх последовательных целых чисел одно делится на 3, поэтому q делится на 3. Значит,  q = 3.  Это значение q получается при  n = 2.  При этом
p = 5.

Ответ

p = 5,  q = 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	01.4.11.1