Задача 110079

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Пятиугольники ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Джукич Д.

Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.

Решение

Предположим противное. Рассмотрим пятиугольник ABCDE , удовлетворяющий условиям задачи. Не умаляя общности, можно считать, что угол A – наибольший, а угол D – наименьший (любую пару несмежных вершин можно перевести в эту переобозначениями).

Заметим, что EAC= A- BAC= A- ACB> C- BCA= ACD .

Предположим, что лучи AE и CD пересекаются в точке X . Тогда в треугольнике ACX сторона CX больше стороны AX , так как против нее лежит больший угол. Тогда DX=CX-CD=CX-AE>AX-AE=EX , поэтому 180^o- E>180^o- D , что противоречит минимальности угла D .

Случай, когда прямые AE и CD пересекаются с другой стороны от ED , аналогичен.
В случае AE|| CD легко прийти к противоречию следующим образом. Заметим, что ACDE – ромб, Δ ABC – равносторонний, и тогда D< E A=60^o+D< C=60^o+ E .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	01.4.8.3