Задача 110085
|
|
 |
Условие
Действительные числа x и y таковы, что для любых различных простых нечётных p и q число xp + yq рационально.
Докажите, что x и y – рациональные числа.
Решение
Из рациональности xp + yq, xr + yq, xs + yq следует рациональность чисел xr – xp, xs – xr. Возьмём p = 3, r = 5, s = 7. Тогда a = x7 – x5 и b = x5 – x3 рациональны. Если b = 0, то x = 0 или x = ±1, то есть x рационально. Если же b ≠ 0, то x² = a/b рационально. Но тогда из равенства b = x²(x² – 1)x следует рациональность x. Аналогично y – рациональное число.
