ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110100
Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных целых точках принимает простые значения.
Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.


Решение

  Пусть трёхчлен f(x) принимает простые значения в точках  n – 1,  n и  n + 1.  Те же значения он принимает в точках, симметричных указанным относительно оси параболы  y = f(x).  Эти симметричные точки также целые, так как по условию абсцисса вершины параболы целая или полуцелая. Отсюда следует утверждение задачи, если точка  K(n, f(n))  не является вершиной параболы.
  Если  K(n, f(n))  – вершина параболы, то  f(x) = (x – n)² + p,  причём числа  f(n) = p  и  f(n + 1) = p + 1  – простые. Значит,  p = 2,  p + 1 = 3.  Но тогда и
f(n + 3) = 3² + 2 = 11  – простое число.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 02.4.9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .