ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110166
Темы:    [ Взвешивания ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеется набор гирь со следующими свойствами:

  1. В нем есть 5 гирь, попарно различных по весу.
  2. Для любых двух гирь найдутся две другие гири того же суммарного веса.
Какое наименьшее число гирь может быть в этом наборе?

Решение

Пусть A – одна из самых легких гирь, а B – одна из гирь, следующих по весу за A . Очевидно, пару гирь {A,B} можно уравновесить только такой же парой.
Поэтому есть хотя бы по две гири A и B . Пару {A,A} также можно уравновесить только такой же парой. Поэтому гирь A – по крайней мере 4. По аналогичным причинам есть хотя бы 4 самых тяжелых гири E и хотя бы две гири предыдущего веса D .
Кроме того, по условию есть хотя бы одна гиря C , которая тяжелее A и B и легче D и E .
Таким образом, всего гирь в нашем наборе не меньше, чем 4+4+2+2+1=13 .

C другой стороны, легко проверить, что набор из 13 гирь: {1,1,1,1,2,2,3,4,4,5,5,5,5} удовлетворяет условию задачи.

Ответ

13.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 04.4.8.2
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 04.4.9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .