Условие
Набор пятизначных чисел $\{N_1, \dots, N_k\}$ таков, что любое
пятизначное число, все цифры которого идут в возрастающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним из чисел $N_1, \dots, N_k$.
Найдите наименьшее возможное значение $k$.
Решение
Докажем, что условию удовлетворяет набор из одного числа $13579$.
В самом деле, пусть $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$ – пятизначное число, цифры которого удовлетворяют неравенствам $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$. Тогда, если $a_1 \ne 1$, то $2 \leq a_1 < a_2$. Если при этом $a_2 \ne 3$, то $4 \le a_2 < a_3$. Если, кроме того, $a_3 \ne 5$, то $6 \le a_3 < a_4$. Предположив еще, что $a_4 \ne 7$, получим $8 \le a_4 < a_5$, т.е. равенство $a_5 = 9$, означающее совпадение цифр в разряде единиц.
Ответ
$k = 1$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
2004 |
|
Этап |
|
Вариант |
4 |
|
Класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
04.4.8.7 |
