Задача 110216

Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC параллельно стороне AC , пересекается с прямой A₀C₀ в точке P . Докажите, что прямая PB касается описанной окружности треугольника ABC .

Решение

Обозначим центр вписанной окружности через I . Пусть B₀ – точка пересечения биссектрисы угла B с описанной окружностью.
Тогда IBC₀=(AC₀+AB₀) =(BC₀+CB₀)= BIC₀ , т.е. треугольник BIC₀ равнобедренный, BC₀=IC₀ .

Аналогично, BA₀=IA₀ , значит треугольники A₀IC₀ и A₀BC₀ равны (см. рис.) . Следовательно, точки B и I симметричны относительно C₀A₀ , т.е. A₀P – серединный перпендикуляр к отрезку BI .

Пусть, для определенности, P лежит на луче C₀A₀ . Пользуясь симметрией относительно A₀P , имеем: A₀BP= A₀IP= A₀AC= A₀AB . Получилось, что угол между хордой A₀B окружности и прямой BP равен вписанному углу этой окружности, опирающемуся на дугу A₀B . По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, заключаем, что BP – касательная к описанной окружности треугольника ABC .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	06.4.9.4
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.4.10.3