ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 110747
УсловиеПлоскость проходит через сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды и делит пополам двугранный угол при этой стороне. Найдите площадь основания пирамиды наименьшего объёма, если известно, что указанная плоскость пересекает высоту пирамиды в точке, удалённой на расстояние d от плоскости основания.РешениеПусть плоскость, проходящая через сторону AB основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD пересекает высоту PM пирамиды в точке K , причём MK = d . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофемы PG и PH лежащие в гранях APB и CPD . Тогда PGH – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью основания, а GK – биссектриса этого угла. Обозначим KGM = α , PM=h , AB=a . ТогдаИз прямоугольных треугольников KMG и PMG находим, что Тогда Обозначим tg2 α = t ( 0< t < 1 , т.к. 0<α <45o ) и найдём значение t , при котором объём пирамиды минимален. Так как при рассматриваемых t верно неравенство t(1-t) , причём равенство достигается при t= , то а равенство достигается при tg α = Тогда Ответ8d2 .Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|