ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110747
Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ]
[ Правильная пирамида ]
[ Биссекторная плоскость ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Плоскость проходит через сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды и делит пополам двугранный угол при этой стороне. Найдите площадь основания пирамиды наименьшего объёма, если известно, что указанная плоскость пересекает высоту пирамиды в точке, удалённой на расстояние d от плоскости основания.

Решение

Пусть плоскость, проходящая через сторону AB основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD пересекает высоту PM пирамиды в точке K , причём MK = d . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофемы PG и PH лежащие в гранях APB и CPD . Тогда PGH – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью основания, а GK – биссектриса этого угла. Обозначим KGM = α , PM=h , AB=a . Тогда

PGM = 2α, MG = GH = AB = .

Из прямоугольных треугольников KMG и PMG находим, что
=MG = = ,


h=PM = MG tg PGM = · tg 2α = · = .

Тогда
VPABCD = SABCD· h = a2h = · · = d3 · .

Обозначим tg2 α = t ( 0< t < 1 , т.к. 0<α <45o ) и найдём значение t , при котором объём пирамиды минимален. Так как при рассматриваемых t верно неравенство t(1-t) , причём равенство достигается при t= , то
VPABCD = d3 · = d3 · d3,

а равенство достигается при tg α = Тогда
SABCD = a2 = = 4d2· 2 = 8d2.


Ответ

8d2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8100

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .