Задача 111677

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В равностороннем (неправильном) пятиугольнике ABCDE угол ABC вдвое больше угла DBE. Найдите величину угла ABC.

Решение

  Пусть углы при основании BE равнобедренного треугольника ABE равны α, а углы при основании BD равнобедренного треугольника BCD равны β. Из условия следует, что  α + β = ∠DBE.  Значит,
∠AED + ∠CDE = (α + ∠BED) + (β + ∠BDE) = (α + β) + (∠BED + ∠BDE) = ∠DBE + (180° – ∠DBE) = 180°.
  Следовательно,  AE || CD,  а так как  AE = CD,  то ACDE – параллелограмм, поэтому  AC = DE = AB = BC.  Значит, треугольник ABC – равносторонний, и   ∠ABC = 60°.

Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4195