Задача 111678

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Пятиугольники ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Диагонали AC и BE правильного пятиугольника ABCDE пересекаются в точке K . Докажите, что описанная окружность треугольника CKE касается прямой BC .

Решение

Каждый угол правильного пятиугольника равен = = 108^o , а угол между диагоналями, исходящими из одной вершины, равен = 36^o . Значит,

KCB = ACB = BAC = = = 36^o= BEC= KEC,
а т.к. KEC — угол, вписанный в описанную окружность треугольника CKE , то по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, BC — касательная к этой окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4196