Задача 111679

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Пятиугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Пусть a – длина стороны правильного пятиугольника, d – длина его диагонали. Докажите, что  d² = a² + ad.

Решение

Пусть K – точка пересечения диагоналей BE и AC правильного пятиугольника ABCDE. Каждый угол правильного пятиугольника равен 108°, а угол между диагоналями, исходящими из одной вершины, равен 36°. Значит,  ∠KCB = ∠ACB = 36° = ∠BEC,  поэтому треугольники BCK и BEC подобны по двум углам. Кроме того,  ∠DCE = 36° = ∠BEC,  значит,  BE || CD.  Аналогично  DE || AC,  следовательно, четырёхугольник CDEK – параллелограмм, поэтому  EK = CD = a.  Из подобия треугольников BCK и BEC получим, что  BK : BC = BC : BE,  то есть  BC² = BK·BE,  или
a² = (BE – EK)BE = (d – a)d = d² – ad.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4197