Задача 111770

Тема:    [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Волченков С.Г.

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k  (1 ≤ k ≤ 25)  в любых k коробках лежат шарики ровно  k + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

Решение

Обозначим коробки  B₁, ..., B₂₅.  По условию общее число цветов равно 26. Если рассмотреть все коробки, кроме B_i, то общее число цветов в них равно 25. Следовательно, есть цвет, присутствующий только в коробке B_i; назовем его C_i. Поскольку общее число цветов – 26, остался ровно один цвет C, отличный от всех C_i. Если в какой-то коробке B_k нет шариков этого цвета, то в ней есть только шарики цвета B_k, что противоречит условию (в B_k должны быть шарики двух цветов). Значит, шарики цвета C есть во всех коробках.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	07.4.11.1
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.4.10.1