|
|
 |
Условие
Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит точный куб натурального числа.
Докажите, что она содержит и точный куб, не являющийся точным квадратом.
Решение
Лемма. Если для некоторого натурального n число
n³ является точным квадратом, то число n также является точным квадратом.
Доказательство. Пусть простое число p входит в разложение числа n на простые множители в степени t, тогда p входит в разложение числа n³ в степени 3t. По условию 3t чётно, поэтому t чётно. В силу произвольности p получаем, что
n – точный квадрат.
Пусть в прогрессии с разностью d > 0 содержится куб натурального числа m. Если m³ не является точным квадратом, то искомое число найдено. Иначе m³ – точный квадрат и согласно лемме m – точный квадрат, m = k². Вместе с m³ прогрессия содержит точный куб A = (m + md²)³, поскольку
A = m³ + ld, где l – натуральное. Докажем, что A не является точным квадратом.
Пусть это не так, тогда по лемме m + md² = k²(1 + d²) – точный квадрат. Отсюда 1 + d² – точный квадрат, 1 + d² = x². Следовательно,
1 = (x – d)(x + d), что невозможно.
