Задача 111805

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Мурашкин М.В.

Последовательность (a_n) задана условиями a₁= 1000000 , a_n+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.

Решение

Заметим, что числа k_n==[a_n n]+1 – натуральные, причем

k_n+1=[a_n+1 n+1]+1=[]+1 =k_n+[-]+1 k_n-1+1=k_n.
Значит, последовательность k_n невозрастающая, и все ее члены– натуральные числа. Тогда, начиная с некоторого момента, она постоянна, т.е. k_n=k_n+1=k_n+2=..=k . Это значит, что при d n выполняется равенство a_d+2-a_d+1=(d+1)k_d+1-dk_d=(d+1)k-dk=k , то есть вся подпоследовательность a_n+1,a_n+2,a_n+3,.. является арифметической прогрессией с разностью k .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	08.4.11.3
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	08.4.10.4