Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 111810 (#08.4.9.1)

Тема:

[

Тождественные преобразования

]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Сендеров В.А.

Числа a, b, c таковы, что a²(b + c) = b²(a + c) = 2008 и a ≠ b. Найдите значение выражения c²(a + b).

Прислать комментарий

Решение

Задача 111811 (#08.4.9.2)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111812 (#08.4.9.3)

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Равные треугольники. Признаки равенства (прочее)	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 9

Дан выпуклый шестиугольник P₁P₂P₃P₄P₅P₆, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ и Q₆ соответственно. Докажите, что треугольники Q₁Q₃Q₅ и Q₂Q₄Q₆ равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111813 (#08.4.9.4)

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид ^m/_n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n^2/3.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111814 (#08.4.9.5)

Темы:	[	Деление с остатком	]
Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

Дано натуральное число n > 1. Для каждого делителя d числа n + 1, Петя разделил число n на d с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь – остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]