|
|
 |
Условие
Дано натуральное число n > 1. Для каждого делителя d числа n + 1, Петя разделил число n на d с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь – остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают.
Решение
Рассмотрим произвольный делитель d числа n + 1; пусть n + 1 = df. Тогда n = (n + 1) – 1 = (f – 1)d + (d – 1), где 0 ≤ d – 1 < d, то есть числа f – 1 и
d – 1 являются неполным частным и остатком при делении n на d. Значит, на доске будут выписаны все числа вида d – 1, а в тетради – все числа вида n+1/d – 1, где d – делитель n + 1. Но, когда d пробегает все делители числа n + 1, то число n+1/d также пробегает все его делители; поэтому и на доске, и в тетради будут выписаны все делители n + 1, уменьшенные на 1.
