Задача 111838

Темы:    [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Неравенства с векторами ] [ Метод координат ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Дан набор из n>2 векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.

Решение

Первое решение. Пусть сумма всех векторов отлична от нуля ( ||=s>0 ). Введем прямоугольную систему координат Oxy , в которой ось Ox сонаправлена с . Пусть – длинный вектор набора, т.е. он не короче, чем =- . Поскольку y -координаты векторов и равны по модулю, то x -координата a_x вектора по модулю не меньше, чем x -координата b_x=s-a_x вектора . Отсюда получаем, что a_x s/2 . Теперь, если все векторы набора длинные, то сумма их x -координат не меньше ns/2>s , но эта сумма равна s . Противоречие.
Второе решение. Обозначим данные векторы через a_k ( k=1,..,n ), а их сумму через . По условию || | - | . Возведем это неравенство в квадрат: ² - 2· + ² . Просуммировав такие неравенства по всем k от 1 до n , получаем 0 n² - 2·( + + ..+) , т.е. 0(n-2) ² . Значит, = .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	07.5.10.5