|
|
 |
Условие
Приведённые квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что уравнения f(g(x)) = 0 и g(f(x)) = 0 не имеют вещественных корней.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений f(f(x)) = 0 и g(g(x)) = 0 тоже не имеет вещественных корней.
Решение
Не умаляя общности можно считать, что минимальное значение f(x) не превосходит минимального значения g(x). Если трёхчлен g(x) не имеет корней, то g(x) > 0 для всех x, поэтому и g(g(x)) > 0 для всех x, и утверждение доказано.
Если же g(x) имеет корни, то минимальное значение f(x) больше любого корня g(x). Действительно, если g(a) = 0 и f(x1) ≤ a, то найдётся такое x2, что f(x2) = a. Тогда g(f(x2)) = 0, что невозможно. Тем более, минимальное значение g(x) больше любого корня g(x). Поэтому уравнение g(g(x)) = 0 не может иметь вещественных корней.
