|
|
 |
Условие
На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.
Решение 1
Пусть вначале в сумму входила дробь a/2. Докажем, что в исходной сумме найдётся такая дробь b/c с нечётным знаменателем c, что числа a и b имеют разную чётность. Действительно, дробей с нечётными знаменателями ровно 50, и число a не является числителем ни одной из них. Поэтому среди числителей таких дробей не больше 49 имеют ту же чётность, что и a.
Поменяем теперь местами числители a и b. Сделаем это в два приема: сначала поменяем числитель у дроби со знаменателем 2 (сумма изменилась на нечётное число a – b половинок и, значит, превратилась в целое число), а затем – числитель дроби со знаменателем c (сумма изменилась на дробь с нечётным знаменателем, то есть стала дробью с нечётным знаменателем).
Решение 2
Пусть вначале в сумму входила дробь x/64. Тогда среди числителей встречается либо число x – 32, либо число x + 32; обозначим этот числитель через y, а соответствующий ему знаменатель – через z. Поменяем местами x и y. Тогда дробь со знаменателем 64 изменилась на ½, а дробь со знаменателем z изменилась на 32/z; несократимая запись последней дроби имеет нечётный знаменатель. Отсюда, как и в предыдущем решении, получаем, что новая сумма дробей имеет нечётный знаменатель в несократимой записи.
