Задача 111864

Темы:    [ Шар и его части ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Неравенства с объемами ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Карасев Р.

Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса 1 . Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар радиуса .

Решение

Заметим, что наименьший круг, содержащий нетупоугольный треугольник– это его описанный круг; для тупоугольного же треугольника это круг, построенный на его наибольшей стороне как на диаметре. Пусть описанная сфера Ω нашего тетраэдра ABCD имеет центр O и радиус R . Предположим, что O лежит вне тетраэдра или на его границе. Рассмотрим ближайшую к O точку X тетраэдра. Возможны два случая:

1. X лежит внутри некоторой грани (скажем, ABC ). Тогда X является центром описанной окружности ω треугольника ABC , этот треугольник– остроугольный, поэтому радиус ω есть r 1 . При этом точки D и O лежат в разных полупространствах относительно ABC , и сфера c центром в X и радиусом r содержит сферическую шапочку сферы Ω , содержащую ABCD . Значит, эта сфера содержит и ABCD .

2. X лежит на ребре AB . Тогда проекция O₁ точки O на плоскость ABC лежит вне граней; более того, X является ближайшей к O₁ точкой треугольника ABC . Поэтому O₁ и C лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AB , угол ACB тупой, и точка C лежит в шаре, построенном на AB как на диаметре (радиус этого шара по условию не превосходит 1). Аналогично, D лежит в этом шаре, поэтому шар содержит весь тетраэдр.

В обоих случаях тетраэдр поместился в шар радиуса 1.

Нам осталось разобрать только случай, когда O лежит внутри тетраэдра. В этом случае сумма объемов пирамид ABCO , ABDO , ACDO и BCDO равна V_ABCD , поэтому один из них не превосходит V_ABCD/4 ; пусть это объем пирамиды ABCO . Пусть луч DO пересекает плоскость ABC в точке D₁ ; тогда = , поэтому OD₁ OD= .

Рассмотрим ближайшую к O точку X на границе тетраэдра. Она не может лежать на ребре тетраэдра, потому что угол между одной из граней и отрезком OX будет острым. Значит, она лежит внутри одной из граней (скажем, ABC ), является центром ее описанной окружности, и по доказанному выше XO . Тогда радиус описанной окружности этой грани не менее = R . Так как по условию он не больше 1 , то R , и мы нашли шар требуемого радиуса, содержащий тетраэдр.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	08.5.11.4