Задача 111871

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Акопян А.В.

Окружность ω с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что  AQ ⊥ OP.  Прямая OP пересекает описанные окружности ω₁ и ω₂ треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что  OM = ON.

Решение

  Пусть окружности ω₁ и ω₂ пересекают лучи AB и AC в точках D и E соответственно. По теореме о произведении отрезков секущих
AB·AD = AP·AQ = AC·AE.  Так как  AB = AC,  то  AD = AE.  Пусть K – середина DE. Тогда прямая AK является медианой, высотой и биссектрисой равнобедренного треугольника ADE, в частности, AK проходит через O.

  Точки A, B, C, P, O лежат на окружности с диаметром AO. Из вписанных четырёхугольников ABPC, BPQD, CPQE:
∠PQD = 180° – ∠PBD = ∠ABP = 180° – ∠ACP = ∠PCE = 180° – PQE,  поэтому точка Q лежит на отрезке DE. Так как четырёхугольник PQDM вписанный, то  ∠MDQ = ∠MPQ = 90°,  отсюда  MD ⊥ DE.  Аналогично  NE ⊥ DE.  Таким образом,  MD || OK || NE  и  DK = KE.  Следовательно,
OM = ON.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	08.5.10.3