|
|
 |
Условие
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки B' и C' симметричны соответственно вершинам B и C относительно прямых AC и AB. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ABB' и ACC', отличная от A. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PA.
Решение
Пусть серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямую AC в точке O1. Тогда O1A = O1B = O1B', значит, O1 – центр описанной окружности треугольника ABB'. Аналогично точка O2 пересечения серединного перпендикуляра к стороне AC с прямой AB – центр описанной окружности треугольника ACC'. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Общая хорда AP описанных окружностей треугольников ABB' и ACC' перпендикулярна их линии центров O1O2, а так как O1O ⊥ AB и O2O ⊥ AC, то O – точка пересечения высот треугольника AO1O2, поэтому AO ⊥ O1O2. Следовательно, точки A, O и P лежат на одной прямой.
