Задача 115372

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Уравнения в целых числах ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Шарич В.

Для каждого натурального n обозначим через S_n сумму первых n простых чисел:  S₁ = 2,  S₂ = 2 + 3 = 5,  S₃ = 2 + 3 + 5 = 10,  ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (S_n) оказаться квадратами натуральных чисел?

Решение

  Обозначим n-е простое число через p_n. Предположим, что нашлось  m > 1,  для которого  S_m–1 = k²,  S_m = n²,  где k и n – натуральные числа. Числа
S₂ = 5,  S₃ = 10  квадратами не являются, так что  m > 4.  Заметим, что  p_m = S_m – S_m–1 = (n – k)(n + k);  ввиду простоты p_m получаем  1 = n – k,    Таким образом,  
  Заметим, что p_m нечётно (так как  m > 2),  и  
  С другой стороны, в сумму  S_m = 2 + p² + ... + p_m,  кроме двойки, входят лишь нечётные числа, и при  m > 4  не входят нечётное составное число 9 и число 1, поэтому     Противоречие.

Ответ

Не могут.

Замечания

В последовательности (S_n) встречаются квадраты натуральных чисел. Кроме  S₉ = 100,  известны еще несколько; минимальный из них – это
S₂₄₇₄ = 25633969 = 5063².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2009-2010
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	06.4.9.8