ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 115398
УсловиеВ треугольной пирамиде ABCD все плоские углы при вершинах — не прямые, а точки пересечения высот в треугольниках ABC , ABD , ACD лежат на одной прямой. Докажите, что центр описанной сферы пирамиды лежит в плоскости, проходящей через середины ребер AB , AC , AD .РешениеПусть AB1 , AC1 , AD1 — высоты граней ACD , ABD , ABC . Точки пересечения высот этих граней лежат на прямых AB1 , AC1 , AD1 и отличны от точки A . Поскольку они лежат на одной прямойПусть A' – проекция точки A на плоскость BCD . Тогда по теореме о трех перпендикулярах точки B1 , C1 , D1 являются проекциями A' на прямые CD , BD , BC . Значит, точки A' , C , B1 , D1 лежат на одной окружности (с диаметром A'C ), а также точки A' , D , B1 , C1 лежат на одной окружности (с диаметром A'D ). Отсюда Тогда центр O сферы S лежит в плоскости β , являющейся серединным перпендикуляром к AA' . Ясно, что середины ребер AB , AC , AD также лежат в β (так как треугольники ABA' , ACA' , ADA' прямоугольные). Это и требовалось доказать. Замечание 1. Опустим перпендикуляры из произвольной точки A' , лежащей в плоскости BCD , на прямые BC , CD , BD . Их основания лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда A' лежит на описанной окружности треугольника BCD . Эта прямая называется прямой Симсона точки A' . Замечание 2. Тетраэдры, удовлетворяющие условию задачи, существуют. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |