Задача 115414

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Голованов А.С.

Дано натуральное  n > 1.  Число  a > n²  таково, что среди чисел  a + 1, a + 2, ..., a + n  есть кратные каждого из чисел  n² + 1, n² + 2, ..., n² + n.
Докажите, что  a > n⁴ – n³.

Решение

Пусть кратное числу  n² + i,  содержащееся среди наших чисел, – это  a_i(n² + i).  Ясно, что  a₁ > 1.  Тогда найдётся такое   i ≤ n – 1,  что  a_i > a_i+1  (в противном случае  a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n,  и  a_n(n² + n) – a₁(n² + 1) ≥ a₁(n – 1) > n –1,  что невозможно). Значит,
n – 1 ≥ a_i(n² + i) – a_i+1(n² + i + 1) ≥ a_i(n² + i) – (a_i – 1)(n² + i + 1) = n² + i + 1 – a_i,  то есть  a_i ≥ n² – n + i + 2 > n² – n.  Так как одно из наших чисел есть
a_i(n² + i) > (n² – n)(n² + 1) = n⁴ – n³ + n² – n,  то  a ≥ a_i(n² + i) – n > n⁴ – n³ + n² – 2n ≥ n⁴ – n³,  так как  n ≥ 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008-2009
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	06.4.9.3