Задача 115514

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Средняя линия трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Филимонов В.П.

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD взята такая точка P, что  ∠PBA = ∠PCD = 90°.  Точка M – середина стороны AD, причём  BM = CM.
Докажите, что  ∠PAB = ∠PDC.

Решение

  Проведём перпендикуляры AK, DL, MN и PQ – к прямой BC (см. рис.).  KN = NL,  а  BN = NC.  Следовательно,  KB = CL.  Заметим, что прямоугольные треугольники AKB и BQP подобны. Аналогично подобны прямоугольные треугольники CLD и PQC.
  Отсюда  BP : AB = QP : AB = QP : CL = CP : CD,  то есть прямоугольные треугольники ABP и DCP тоже подобны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	73
Год	2010
класс
Класс	11
задача
Номер	2010.11.5