Задача 115718

Темы:    [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Метод координат ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На плоскости дан квадрат ABCD . Найдите минимум частного , где O — произвольная точка плоскости.

Решение

Известно, что для любого прямоугольника ABCD и любой точки O в плоскости этого прямоугольника OA2+OC2=OB2+OD2 .
Докажем, что , или (OA+OC) OB+OD . Действительно,

(OA+OC) OB+OD ((OA+OC))2 (OB+OD)2

2(OA2+2OA· OC+OC2) OB2+2OB· OD+OD2

OB2+4OA· OC+OC2 2OB· OD.
Последнее неравенство очевидно, т.к. OB2+OC2 2OB· OD .
Если точка O совпадает с вершиной A , получим, что AC = 2AB , или
= = = ,
поэтому значение достигается. Следовательно, минимальное значение дроби равно .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2274