Задача 115955

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Москвитин Н.А.

Вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность ω. Точка F – ортоцентр треугольника ABC; продолжение высоты CE пересекает ω в точке G. Докажите, что высота AD является касательной к описанной окружности треугольника GBF.

Решение

Пусть H – точка пересечения AB и окружности ω₁, описанной вокруг треугольника GBF. Поскольку точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно его стороны, принадлежит описанной окружности этого треугольника (см. задачу 55463), то G симметрична F относительно AB. Таким образом, BH – диаметр ω₁ и  ∠BFH = 90°.  Значит,  HF || AC,  откуда  ∠FBH = ∠ABF = ∠ACF = ∠CAF = ∠AFH . Следовательно, AD – касательная к ω₁.

Источники и прецеденты использования

задача
Номер	3