|
|
 |
Условие
Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.
а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).
Решение
Расположим числа в порядке возрастания: a < b < c < d < e.
а) Первый способ. Пусть утверждение неверно, тогда a + b > e. Cледовательно, a² + b² + c² + d² + e² < ab + bc + cd + de + (a + b)e. Противоречие.
Второй способ. По условию
e(e – d – c) + d(d – c – b) + c(c – b – a) + b(b – a – e) + a(a – e – d) = 0. Значит, хотя бы одна из разностей в скобках неотрицательна, что противоречит неравенству треугольника.
б) Рассмотрим несколько случаев.
1) b + c ≤ d. Тогда каждая из шести троек, где два числа взяты из набора {a, b, c}, а третье – из набора {d, e}, не образует треугольник.
2) c + d ≤ e. Тогда каждая из шести троек, содержащих e, не образует треугольник.
3) b + d ≤ e и a + b ≤ d. Тогда каждая из троек {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, e}, {b, d, e} не образует треугольник.
Пусть все три разобранных варианта не выполнены, то есть b + c > d, c + d > e и верно одно из неравенств b + d > e или a + b > d. Покажем, что оба эти случая невозможны.
4) b + c > d, b + d > e. Тогда
a² + b² + c² + d² + e² < ab + bc + ce + (b + c)d + (b + d)e. Противоречие.
5) c + d > e, a + b > d. Тогда
a² + b² + c² + d² + e² < ab + bc + cd + (a + b)d + (c + d)e. Противоречие.
Замечания
1. Более шести "плохих" троек гарантировать нельзя. Возьмём a, b, c, d близкими к 1, тогда e найдётся из квадратного уравнения (его свободный член близок к –2, поэтому оно имеет положительный корень). При этом каждая тройка чисел из набора {a, b, c, d} – хорошая.
2. Баллы: 4 + 5.
