|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O, причём точка O не лежит ни на одной из диагоналей этого четырёхугольника. Известно, что центр описанной окружности треугольника AOC лежит на прямой BD. Докажите, что центр описанной окружности треугольника BOD лежит на прямой AC.
Решение 1
Пусть R – радиус окружности, P – середина AC, Q – середина BD, O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников AOC и BOD соответственно.
Опустим перпендикуляр O1N на радиус OA. Из подобия треугольников AOP и O1ON получаем OP : OA = ON : OO1, то есть OP·OO1 = ½ R². Аналогично
OQ·OO2 = ½ R². Поэтому OP : OQ = OO2 : OO1, значит, треугольники OPO2 и OQO1 подобны (у них общий угол при вершине O). По условию угол OQO1 прямой, следовательно, и угол OPO2 прямой, что и требовалось доказать.
Замечание для знатоков. Прямые AC и BD – поляры соответственно точек O1 и O2 относительно окружности радиуса R/2 с центром O. Поэтому утверждение задачи есть переформулировка известной теоремы:
если точка X лежит на поляре точки Y, то точка Y лежит на поляре точки X.
Выше как раз приведено одно из доказательств этой теоремы.
Решение 2
Утверждение задачи есть частный случай следующего утверждения.
Пусть центр окружности Ω1 лежит на радикальной оси окружностей Ω2 и Ω3, а центр окружности Ω2 лежит на радикальной оси окружностей Ω1 и Ω3. Тогда центр окружности Ω3 лежит на радикальной оси окружностей Ω1 и Ω2.
(В нашем случае Ω1, Ω2 и Ω3 – описанные окружности треугольников ABC, AOC и BOD соответственно.)
Доказательство сводится к тривиальной проверке следствия:
Замечания
1. См. также задачу М2210 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2011, №1).2. 8 баллов.
