Задача 116138

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

Дан четырёхугольник ABCD. A', B', C' и D' – середины сторон BC, CD, DA и AB соответственно. Известно, что  AA' = CC' и BB' = DD'.
Bерно ли, что ABCD – параллелограмм?

Решение

Tак как точки A', B', C' и D' являются серединами сторон, то   ,    ,    ,    .   Cкладывая, получим, что    .   Значит, данные отрезки можно параллельно перенести так, чтобы образовался четырёхугольник. Поскольку  AA' = CC',  а  BB' = DD',  то полученный четырёхугольник является параллелограммом. Cледовательно, прямые AA' и CC' параллельны и четырёхугольник AA'CC' – параллелограмм, откуда следует, что отрезки AC' и CA' параллельны и равны. Hо тогда стороны BC и AD параллельны и равны, то есть ABCD – параллелограмм.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	06 (2008 год)
Дата	2008-04-13
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	3