|
|
 |
Условие
B треугольнике ABC угол A равен 120°. Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно AB + AC.
Решение 1
Пусть C1 и B1 – основания высот треугольника ABC, проведённых к сторонам AB и AC соответственно, H – ортоцентр, O – центр описанной окружности, D – середина большей из дуг BC этой окружности. Tогда треугольник BDC – равносторонний, и по задаче 52355, AD = AB + AC.
Прямые OD и AH параллельны как перпендикуляры
к BC. Kроме того, согласно задаче 55599 AH = OD. Значит, ODAH – параллелограмм, и
OH = AD = AB + AC.
Решение 2
Hа продолжении стороны AC за точку A отложим отрезок AB' = AB. Докажем, что OH = СB'. Для этого достаточно показать, что OB'HC – равнобокая трапеция (или прямоугольник). Треугольник AB'B – равносторонний, поэтому OB' ⊥ AB. Следовательно, OB' || HC.
Tак как BB1 – высота равностороннего треугольника AB'B, то BB1, а следовательно, и HB – серединный перпендикуляр к отрезку AB', то есть HB' = HA. Пусть K – середина отрезка BC, тогда HA = 2OK (расстояние от ортоцентра треугольника до вершины в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей этой вершине стороны). Поскольку ∠BOC = 120°, то ∠KCO = 30°, то есть KCO – прямоугольный треугольник с углом 30°. Следовательно, OC = 2OK, откуда OC = HB'.
