ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116558
Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений  ax11 + bx4 + c = 0,  bx11 + cx4 + a = 0,  cx11 + ax4 + b = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.


Решение 1

  Заметим, что все корни наших уравнений – ненулевые, поскольку свободные члены не равны нулю.
  Пусть p – общий корень первых двух уравнений. Тогда

0 = b(ap11 + bp4 + c) – a(bp11 + cp4 + a) = p4(b² – ac) – (a² – bc),   0 = b(bp11 + cp4 + a) – c(ap11 + bp4 + c) = p11(b² – ac) – (c² – ab).
  Отсюда следует, что если одно из чисел  A = a² – bc,  B = b² – ac,  C = c² – ab  равно нулю, то и все три равны нулю. Но тогда
a/b = b/c = c/a,  а поскольку произведение этих чисел равно 1, то и все они равны 1, то есть  a = b = c.  В этом случае утверждение задачи очевидно.
  В противном случае все три числа A, B, C ненулевые. Тогда  p4 = A/B,  p11 = C/B.
  Обозначим через q общий корень второго и третьего, а через r общий корень третьего и первого уравнений. Аналогично получим  q4 = B/C,  откуда  p11q4 = 1.  Таким же образом получаем равенства  q11r4 = 1,  r11p4 = 1.  Отсюда  p11³ = q–4·11² = r4²·11 = p–4³,  следовательно,  p = 1.  Аналогично
q = r = 1.  Итак, 1 является общим корнем всех трёх уравнений.

  Замечание.Решение можно завершить по-другому. Пусть |B| – среднее по величине из чисел |A|, |B|, |C|. Тогда одно из чисел  |p|4 = |A|/|B|  и
|p|11 = |C|/|B|  не больше единицы, а другое – не меньше единицы. Значит, оба они равны единице, то есть  |p| = 1.  Следовательно,  |A| = |B| = |C|  и
|q| = |r| = |p| = 1.  Поэтому два из чисел p, q, r равны, скажем,  p = q.  Но тогда это число является общим корнем всех трёх уравнений.


Решение 2

  Достаточно доказать, что одно из данных уравнений имеет ровно один корень; тогда он будет общим у этого уравнения с каждым из остальных. Рассмотрим среди данных уравнений то, в котором коэффициенты при x4 и свободный член имеют одинаковый знак; пусть для определенности
b > 0,  c > 0  (случай  b < 0,  c < 0  сводится к этому домножением уравнения на –1). Запишем уравнение в виде  ax7 + b + cx–4 = 0.  На положительной полуоси функция  f(x) = ax7 + b + cx–4  положительна, а на отрицательной полуоси она строго возрастает. Следовательно она имеет не более одного корня.

  Замечание. Единственность корня можно показать и с помощью производной.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
Задача
Номер 10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .