ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116558
УсловиеНенулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений ax11 + bx4 + c = 0, bx11 + cx4 + a = 0, cx11 + ax4 + b = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень. Решение 1 Заметим, что все корни наших уравнений – ненулевые, поскольку свободные члены не равны нулю. 0 = b(ap11 + bp4 + c) – a(bp11 + cp4 + a) = p4(b² – ac) – (a² – bc), 0 = b(bp11 + cp4 + a) – c(ap11 + bp4 + c) = p11(b² – ac) – (c² – ab).
Отсюда следует, что если одно из чисел A = a² – bc, B = b² – ac, C = c² – ab равно нулю, то и все три равны нулю. Но тогда a/b = b/c = c/a, а поскольку произведение этих чисел равно 1, то и все они равны 1, то есть a = b = c. В этом случае утверждение задачи очевидно. В противном случае все три числа A, B, C ненулевые. Тогда p4 = A/B, p11 = C/B. Обозначим через q общий корень второго и третьего, а через r общий корень третьего и первого уравнений. Аналогично получим q4 = B/C, откуда p11q4 = 1. Таким же образом получаем равенства q11r4 = 1, r11p4 = 1. Отсюда p11³ = q–4·11² = r4²·11 = p–4³, следовательно, p = 1. Аналогично q = r = 1. Итак, 1 является общим корнем всех трёх уравнений. Замечание.Решение можно завершить по-другому. Пусть |B| – среднее по величине из чисел |A|, |B|, |C|. Тогда одно из чисел |p|4 = |A|/|B| и Решение 2 Достаточно доказать, что одно из данных уравнений имеет ровно один корень; тогда он будет общим у этого уравнения с каждым из остальных. Рассмотрим среди данных уравнений то, в котором коэффициенты при x4 и свободный член имеют одинаковый знак; пусть для определенности Замечание. Единственность корня можно показать и с помощью производной. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|