|
|
 |
Условие
Даны 2011 ненулевых целых чисел. Известно, что сумма любого из них с произведением оставшихся 2010 чисел отрицательна. Докажите, что если произвольным образом разбить все данные числа на две группы и перемножить числа в группах, то сумма двух полученных произведений также будет отрицательной.
Решение
Предположим, что среди данных чисел чётное количество отрицательных. Тогда среди них есть положительное число a, и произведение всех чисел, кроме a, положительно. Это противоречит условию.Значит, среди данных чисел нечётное число отрицательных.
Пусть x1, x2,
..., xk и y1, y2, ..., ym – две группы, на которые разбиты данные числа (k + m = 2011). Ровно одно из двух произведений x1x2...xk и y1y2...ym (а именно то, в котором нечётное число отрицательных сомножителей) – отрицательно; пусть x1x2...xk < 0,
y1y2...ym > 0. Среди чисел x1, x2, ..., xk найдётся отрицательное, скажем, x1 < 0. Тогда x2...xk > 0, а значит, x2...xk ≥ 1 (так как числа целые). Следовательно,
x1x2...xk + y1y2...ym ≤ x1 + y1y2...ymx2...xk < 0.
Замечания
Можно показать, что условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда среди данных чисел ровно одно отрицательное и его модуль больше произведения всех остальных.
