Задача 116565

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Шмаров В.

На окружности, описанной около прямоугольника ABCD, выбрана точка K. Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в такой точке M, что
AM : MD = 2.  Пусть O – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на описанной окружности треугольника COD.

Решение

  Отметим на продолжении отрезка AD такую точку T, что  AT = DM.  Тогда BCMT – параллелограмм. Поскольку   DT = DA + AT = 3DM + DM = 4DM,  то по теореме Фалеса прямая CM пересекает отрезок BD в такой точке N, что  DB = 4DN.  Значит,  DN = NO,  то есть KN – медиана треугольника OKD.

  Точка S пересечения медиан равнобедренного треугольника OKD лежит на биссектрисе угла KOD.  ∠SСD = ∠KСD = ½∠KOD = ∠SOD.   Это и означает, что точки S, D, O, C лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2010-2011
Этап
Вариант	4
класс
Класс	11
Задача
Номер	11.3