Задача 116582
|
|
 |
Условие
Целые числа a и b таковы, что при любых натуральных m и n число am² + bn² является точным квадратом. Докажите, что ab = 0.
Решение
Предположим противное. Ясно, что тогда числа a и b натуральные. Действительно, если, скажем, a < 0, то
число (2|b|)²a + b = b(4ab + 1) – квадрат. Но числа b и 4ab + 1 имеют разные знаки. Противоречие.
По условию 4ab² + b = x² и 4ab² + 4b = y² при некоторых натуральных x, y. При этом, y² > x² > 4b², поэтому y > x > 2b. Но тогда
3b = y² – x² = (y – x)(y + x) ≥ 1·4b, что невозможно.
