Задача 116591
|
|
 |
Условие
Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?
Решение
Предположим противное; тогда все углы пятиугольника – различные числа из интервала (0, π). Поэтому у Пети не найдётся трёх равных чисел, ибо в этом интервале нет трёх различных углов с равными синусами.
Значит, у Пети должны быть две пары равных чисел: sin α = sin β и sin γ = sin δ, при этом α = π – β, γ = π – δ.
Но тогда пятый угол пятиугольника равен 3π – (α + β) – (γ + δ) = π, что невозможно.
Ответ
Не могут.
