ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116596
Темы:    [ Четырехугольная пирамида ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через вершины основания четырёхугольной пирамиды SABCD проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину A – параллельно SC, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.


Решение

Пусть P – точка пересечения данных прямых. Поскольку  PA || SC  и  PC || SA,  четырёхугольник ASCP – параллелограмм. Значит, прямая SP делит отрезок AC пополам. Аналогично, прямая SP делит отрезок BD пополам. Следовательно, прямая SP пересекает плоскость основания пирамиды в точке пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, и диагонали делятся этой точкой пополам. Поэтому ABCD – параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .