ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116601
Темы:    [ Тригонометрический круг ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны различные натуральные числа a, b. На координатной плоскости нарисованы графики функций  y = sin axy = sin bx  и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число c, отличное от a, b и такое, что график функции  y = sin cx  проходит через все отмеченные точки.


Решение

  Пусть для определённости  a > b.  Если  (x0, y0)  – одна из точек пересечения, то  sin ax0 = sin bx0.  Значит,  ax0bx0 = 2kπ  или  (a + b)x0 = (2k + 1)π  при некотором целом k, то есть одно из чисел  (a – b)x0  или  (a + b)x0  "кратно" π. Следовательно,  (a² – b²)x0  "кратно" π.
  Положим  c = 2(a² – b²) + a.  Тогда число  cx0ax0 = 2(a² – b²)x0  кратно 2π. Значит,  sin cx0 = sin ax0 = y0,  что и требуется. Кроме того,  c > a > b.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .