|
|
 |
Условие
Для некоторых 2011 натуральных чисел выписали на доску все их 2011·1005 попарных сумм.
Могло ли оказаться, что ровно треть выписанных сумм делится на 3, и ещё ровно треть из них дают остаток 1 при делении на 3?
Решение
Рассмотрим, например, числа от 1 до 2011. Среди них 2010 : 3 = 670 чисел делятся на 3, столько же при делении на 3 дают остаток 2, а 671 число даёт остаток 1. Значит, 670·669 : 2 + 670·671 = 335·2011 = 2011·1005 : 3 сумм делятся на три и столько же дают в остатке 1.
Ответ
Могло.
Замечания
Идеология. Пусть в наборе из n чисел есть a, b и c чисел, дающих соответственно остатки 0, 1 и 2 при делении на 3. Тогда условие переписывается в виде . Первое уравнение переписывается в виде (a – b)(a + b – 1 – 2c) = 0 или, с учётом равенства
a + b + c = n, (a – b)(n – 1 – 3c) = 0. Итак, либо a = b, либо 3c = n – 1. Остальные уравнения записываются аналогично. Отсюда ясно, что все решения имеют вид {k, k, k} при n = 3k и {k, k, k + 1} при n = 3k + 1.
