|
|
 |
Условие
У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен f(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен g(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение f(x) = g(x) имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?
Решение
Будем рядом с каждой парой чисел писать приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа этой пары. Пусть в некоторый момент у мальчиков записаны трёхчлены p(x) и q(x). Тогда они решали уравнение вида ap(x) = bq(x), где a, b – какие-то различные ненулевые числа. Значит, полученные числа – корни трёхчлена ap(x) – bq(x). Если один из мальчиков заменяет свои числа на эти корни, то рядом с ними будет записана линейная комбинация многочленов p(x) и q(x).
Исходные два трёхчлена p0(x) = (x – 1)(x – 2) и q0(x) = (x – 3)(x – 4). Из сказанного выше следует, что на каждом шаге у каждого мальчика записан трёхчлен вида r(x) = αp0(x) + βq0(x), где α + β = 1.
Параболы y = p0(x) и y = q0(x), очевидно, симметричны относительно прямой x = 2,5, поэтому p0(2,5) = q0(2,5) = 0,75. Значит, и r(2,5) = 0,75.
Если на Петином листке написано число 5, значит, r(5) = 0. Теперь второй корень многочлена r(x) легко находится. Например, так. После замены
t = x – 2,5 мы получим приведённый многочлен со свободным членом 0,75 (это его значение в точке 0). Один из его корней равен 5 – 2,5 = 2,5, по формуле Виета второй равен 0,75 : 2,5 = 0,3. А второй корень многочлена r(x) равен 0,3 + 2,5 = 2,8.
Ответ
2,8.
Замечания
Описанную ситуацию можно получить даже за один ход, если, например, Петя запишет трёхчлен x² – 3x + 2, а Вася – трёхчлен 6x² – 42x + 72.
