Задача 116649

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Выход в пространство ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ] [ Плоскость, разрезанная прямыми ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Берлов С.Л.

По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.

Решение

  Введём в пространстве систему координат Oxyt. Обозначим через M точку шоссе, в которой в начальный момент находится первый автомобиль. Каждой точке шоссе A сопоставим точку  T_A(x_A, y_A) на плоскости Oxy,  где x_A – суммарная длина участков пути AM в населённых пунктах, а y_A – вне населённых пунктов. Тогда шоссе изображается некоторой ломаной на этой плоскости.
  Для i-й машины нарисуем график её движения, состоящий из всех точек  X_iA = (x_A, y_A, t_iA),  где t_iA – момент времени, в который эта машина находилась в точке A. Если эта машина была в точке M в момент t_i, а её скорости в населённых пунктах и вне их равны u_i и v_i,

то     и, следовательно, весь график движения i-й машины лежит в плоскости     Обозначим эту плоскость через α_i.

  Рассмотрим теперь порядок, в котором машины проедут мимо некоторого флажка F. Он совпадает с порядком, в котором плоскости α_i будут пересекать прямую, параллельную Ot и проходящую через точку T_F. Пусть для двух флажков F и G этот порядок различается (скажем, первая и вторая машины проехали мимо него в разном порядке). Тогда отрезки X_1FX_1G и X_2FX_2G пересекаются. Таким образом, если спроецировать прямую пересечения плоскостей α₁ и α₂ на плоскость Oxy, то точки T_F и T_G будут лежать по разные стороны от полученной проекции l₁₂.
  Рассмотрим все прямые l_ij. Поскольку их количество не больше   ,   они разобьют плоскость не более чем на  45·46 : 2 + 1  частей (см. задачу 60323). Значит, найдутся такие флажки F и G, что точки T_F и T_G попадают в одну часть, то есть ни одна проекция прямых их не разделяет. Поэтому на этих флажках порядок машин будет одинаков.

Замечания

Заметим, что 45 прямых разбивают плоскость ровно на 1036 частей только тогда, когда они находятся в общем положении. В нашем случае для прямые пресечения в каждой тройке плоскостей α_i, α_j, α_k либо попарно параллельны, либо пересекаются в одной точке. Значит, этим же свойством обладают и их проекции; таким образом, прямые l_ij разобьют плоскость на гораздо меньшее число частей.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2010-2011
Этап
Вариант	5
класс
Класс	11
Задача
Номер	11.4