ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116650
Темы:    [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Неравенства. Метод интервалов ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны два различных приведённых кубических многочлена F(x) и G(x). Выписали все корни уравнений  F(x) = 0,  G(x) = 0,  F(x) = G(x). Оказалось, что выписаны восемь различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена F(x).


Решение

  У многочленов F(x) и G(x) не более чем по три корня, а у многочлена  F(x) – G(x)  (степени ≤ 2) не больше двух корней. Поскольку у них в совокупности 8 корней, то у F(x) и G(x) ровно по три корня, а у  F(x) – G(x)  ровно два, причём все они имеют кратность 1.
  Предположим, что a и b – минимальное и максимальное из выписанных чисел, и  F(a) = F(b) = 0.  Поскольку все корни G(x) лежат на интервале
(a, b),  G(a) < 0,  G(b) > 0.  С другой стороны, квадратный трёхчлен  F(x) – G(x)  имеет два корня на этом интервале, поэтому числа
F(a) – G(a) = – G(a)  и  F(b) – G(b) = – G(b)  имеют одинаковый знак. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 5
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .