|
|
 |
Условие
Назовем приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами сносным, если его корни – целые числа, а коэффициенты не превосходят по модулю 2013. Вася сложил все сносные квадратные трёхчлены. Докажите, что у него получился трёхчлен, не имеющий действительных корней.
Решение
Каждому сносному трёхчлену x² + px + q с p ≠ 0 соответствует парный сносный трёхчлен x² – px + q. Их сумма равна 2x² + 2q. Отсюда видно, что сумма всех сносных трёхчленов имеет вид Ax² + C. Поэтому достаточно проверить, что сумма C всех свободных членов сносных трёхчленов положительна. Посмотрим, какой вклад в C вносят разные группы сносных трёхчленов.
Для каждой пары (a, b) целых чисел, где 0 ≤ a ≤ b ≤ 2013, ab ≤ 2013, рассмотрим все сносные трёхчлены с корнями, по модулю равными
a и b. Рассмотрим несколько случаев.
1) a = 0. У таких трёхчленов свободный член равен нулю.
2) a = 1, b = 2013. Соответствующих сносных трёхчленов два: x² ± 2012x – 2013; их вклад в С равен – 4026.
4) 1 < a < b ≤ 2013. Тогда a < b < 2013/2, значит, a + b < 2013. Поэтому соответствующих трёхчленов также четыре; как и в случае 2) их вклад равен 0.
5) 1 ≤ a = b, a² < 2013. Cоответствующих трёхчленов три: x² ± 2a + a², x² – a²; их вклад в С составляет a².
Итак, С = 1² + 2² + ... + 44² – 4026 > 0.
Замечания
5 баллов
