|
|
 |
Условие
Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, касается стороны BC в точке D. Пусть точка I – центр окружности ω, а O – центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AID, пересекает вторично прямую AO в точке E. Докажите, что длина отрезка AE равна радиусу окружности ω.
Решение
Пусть для определенности AB < AC, а луч DI пересекает отрезки AO и AC в точках P и Q соответственно (см. рис).
Имеем: ∠AIP = ∠DQC – ∠IAC = 90° – ∠ C – ½∠A и ∠IAP = ∠OAB –∠IAB = ½ (180° – ∠AOB) – ½∠A = 90° – ∠C – ½∠A. Таким образом, треугольник API равнобедренный (AP = PI), то есть точка P лежит на серединном перпендикуляре l к AI, и лучи PA и PI симметричны относительно l. Описанная окружность треугольника AID также симметрична относительно l. Следовательно, отрезки AE и ID тоже симметричны, поэтому они равны.
Замечания
1. Из решения, в частности, следует, что точка E всегда лежит на продолжении отрезка OA за точку A.
2. Из доказанного следует, что степень точки O относительно описанной окружности ωa треугольника AID равна R(R + r), где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC. Степени точки O относительно окружностей ωb и ωc, построенных аналогично ωa, будут такими же. Это значит, что IO является общей радикальной осью трёх окружностей ωa, ωb и ωc, то есть эти окружности имеют две общие точки: одна – это точка I, а другая лежит на прямой IO. Используя формулу Эйлера (см. задачу 52464), нетрудно найти положение второй точки пересечения указанных окружностей.
