Задача 116774

Темы:    [ Пирамида (прочее) ] [ Свойства разверток ] [ Касательные к сферам ] [ Соображения непрерывности ] [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Пак И.

Дана пирамида SA₁A₂...A_n, основание которой – выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. Для каждого  i = 1, 2, ..., n  в плоскости основания построили треугольник X_iA_iA_i+1, равный треугольнику SA_iA_i+1 и лежащий по ту же сторону от прямой A_iA_i+1, что и основание (мы полагаем  A_n+1 = A₁).  Докажите, что построенные треугольники покрывают всё основание.

Решение 1

  Рассмотрим произвольную точку P основания и докажем, что она покрыта одним из треугольников. Возьмём маленькую сферу, лежащую внутри пирамиды и касающуюся основания в точке P (такая, очевидно, найдётся). Начнём увеличивать её радиус, сохраняя условие касания; тогда в некоторый момент она впервые коснётся боковой поверхности пирамиды. Пусть, скажем, она коснулась грани SA₁A₂ в точке Q (см. рис.).

  Тогда  PA₁ = QA₁,  PA₂ = QA₂;  стало быть, треугольники PA₁A₂ и QA₁A₂ равны. Это значит, что при повороте грани SA₁A₂ вокруг A₁A₂, переводящем её в X₁A₁A₂, точка Q переходит в P, то есть P лежит внутри X₁A₁A₂.

Решение 2

  Предположим, что некоторая точка P основания не покрыта треугольниками. Тогда для каждого i либо
∠PA_iA_i+1 > ∠X_iA_iA_i+1,  либо  ∠PA_i+1A_i > ∠X_iA_i+1A_i.  Без ограничения общности можно считать, что  ∠PA₂A₁ > ∠X₁A₂A₁.
  Если α, β, γ – плоские углы трёхгранного угла, то  α < β + γ;  поэтому  ∠A₁A₂A₃ < ∠SA₂A₁ + ∠SA₂A₃ = ∠X₁A₂A₁ + ∠X₂A₂A₃ < ∠PA₂A₁ + ∠X₂A₂A₃.  Значит,  ∠PA₂A₃ = ∠A₁A₂A₃ – ∠PA₂A₁ < ∠X₂A₂A₃.  Следовательно,  ∠PA₃A₂ >  ∠X₂A₃A₂.

  Продолжая такие рассуждения дальше, получаем, что при любом  i = 1, 2, ..., n  верны неравенства  ∠PA_iA_i+1 < ∠X_iA_iA_i+1  и  ∠PA_i+1A_i > ∠X_iA_i+1A_i.  Это значит, что отрезки X_iA_i+1 и PA_i пересекаются (см. рис.).

  Поэтому (см. задачу 55162)  X_iA_i + PA_i+1 < XA_i+1 + PA_i,  то есть  SA_i + PA_i+1 < SA_i+1 + PA_i.  Но, складывая все такие неравенства, получаем
(SA₁ + ... + SA_n) + (PA₁ + ... + PA_n) < (SA₁ + ... + SA_n) + (PA₁ + ... + PA_n).  Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2011-2012
Этап
Вариант	5
класс
Класс	11
Задача
Номер	11.4