|
|
 |
Условие
Ненулевые числа a и b таковы, что уравнение a(x – a)² + b(x – b)² = 0 имеет единственное решение. Докажите, что |a| = |b|.
Решение 1
Пусть |b| ≠ |a|. Тогда b + a ≠ 0, и данное уравнение (a + b)x² – 2(a² + b²)x + (a³ + b³) = 0 – квадратное. При этом
D/4 = (a² + b²)² – (a + b)(a³ + b³) = – ab(a – b)² ≠ 0. Значит, уравнение не может иметь ровно одно решение. Противоречие.
Решение 2
Пусть числа a и b одного знака. Если они оба положительны, то a(x – a)² + b(x – b)² = 0 только в случае, когда a(x – a)² = 0 и b(x – b)² = 0, то есть
a = x = b. Аналогично рассматривается случай, когда оба числа отрицательны (знаки неравенств меняются на противоположные).
Пусть, например, a > 0 > b. Тогда a = c², b = – d², где c > 0 и d > 0. Имеем
0 = a(x – a)² + b(x – b)² = c²(x – a)² – d²(x – b)² = (c(x – a) – d(x – b))(c(x – a) + d(x – b)). Если c ≠ d, полученное уравнение имеет два различных корня и
(|x2| < |x1|, поскольку |c³ + d³| > |c³ – d³| и |c – d| < |c + d|). Значит, c = d, откуда b = – a.
